乗法定理と事象の独立性

条件付確率と関連の深い概念として、乗法の定理と、事象の独立性があります。まずは、乗法の定理をみてみましょう。

乗法の定理 (multiplication theorem)

条件付確率の公式を変形することにより、乗法の定理の公式を得ることができます。

\displaystyle P(A\cap B)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)

 

ここで、P(A|B)は条件付確率で、事象Bが起きたという条件の下で、事象Aが起こる確率を表します。

乗法の定理と条件付確率はほとんど裏表の一体の関係にあることに注意したいですね。乗法の定理と条件付確率は、単に分母を払っただけの関係です。

 

事象の独立性 (independence of events)

事象Bが起きるか否かによらずに、事象Aの起こる確率が変わらないとき、事象Aと事象Bは独立と言います。これを式で表すと次のようになります。

\displaystyle P(A|B)=P(A)

 

上式は、事象Aと事象Bを入れ替えても等価です。

また、乗法の定理を用いると、前式は次のように書き換えることができます。なので次の式が成り立つ時に、２つの事象の独立であるということができます。

\displaystyle P(A\cap B)=P(B)P(B)

 

まとめると、２つの事象が独立であるとは、それぞれの事象の起こる確率が、他方の事象が起こるか起こらないかに無関係であるということです。逆にもし、ある事象が起こることが、他方の事象が起こる確率に影響があるときは、２つの事象が独立ではありません。

 

事象の独立性の例

例を見てみましょう。（例１）は、２つの事象が独立ではない例です。（例２）は、２つの事象が独立な例です。

 

（例１）ジョーカー入りのトランプ（独立ではない例）

ジョーカー入りのトランプ５３枚から１枚のカードを抜いたとき、そのカードがハートである事象Aと、そのカードが「５」である事象Bが独立であるかどうかを調べる。抜いたカードがハートである事象をBとし、「５」である事象をAとすると、以下のようになる。

\displaystyle P(A\cap B)=\frac{1}{53}

 

\displaystyle P(A)P(B)=\frac{13\times 4}{53\times 53}

 

よって、P(A\cap B)=P(A)P(B)なので、事象Aと事象Bは独立ではありません。

（例２）ジョーカー抜きのトランプ（独立な例）

例１の問題で、ジョーカーなしのトランプ５２枚の場合はどうなるでしょうか？独立性の判定のために次のように計算します。

\displaystyle P(A\cap B)=\frac{1}{52}

 

\displaystyle P(A)P(B)=\frac{13\times 4}{52\times 52}=\frac{1}{52}

 

よって、P(A\cap B)\neq P(A)P(B)なので、事象Aと事象Bは独立となります。
（コメント）（例１）と（例２）を見比べると、違いはトランプにジョーカーが入っているか入っていないかだけの違いですね。このジョーカーによって、２つ事象が独立であるかどうかが異なってきます(^^)